האם היקום הוא בעצם פרקטל?

מאת: Ethan Siegel

מקור: BigThink

אם תתבוננו במבנים שנוצרים ביקום, תגלו שרבים מהדברים שאנו רואים בקני מידה גדולים מופיעים גם בקני מידה קטנים יותר. הילות החומר האפל שנוצרות סביב המבנים הגדולים ביותר שאנו מכירים נראות זהות לאלו שנוצרות סביב גלקסיות בגודל שביל החלב, וגם לאותם צבירי תת-מבנים קטנים הקיימים הן סביב גלקסיות קטנות יותר והן בחלל הבין-גלקטי עצמו. בקני המידה הגדולים ביותר ביקום, כוח הכבידה הוא הכוח היחיד שחשוב. במצבים רבים, אם תחכו מספיק זמן, קריסה כבידתית תייצר מבנים זהים, רק בקנה מידה שונה – תלוי בגודל המערכת שלכם.

הרעיון שאם תעשו זום מספיק רחוק, בסופו של דבר תיתקלו במבנה שחוזר על התבנית הראשונית שראיתם בקנה מידה גדול יותר, ממומש מתמטית במושג פרקטל. כאשר דפוסים דומים מופיעים שוב ושוב בקנה מידה קטן יותר ויותר, נוכל לנתח אותם מתמטית ולראות אם יש להם אותם מאפיינים סטטיסטיים כמו המבנים הגדולים יותר; אם כן, זה דמוי פרקטל בטבע. אז, האם היקום עצמו הוא פרקטל?

נראה שהתשובה היא כמעט, אבל לא לגמרי. הנה המדע מאחורי הסיבה.

קבוצת מנדלברוט היא דוגמה מדהימה למבנה מתמטי עם רכיבים דומים לעצמם וקוואזי-דומים לעצמם. זוהי אולי הדוגמה המפורסמת ביותר למבנה פרקטלי / Credit: Wikimedia Commons user WolfgangBeyer

מבחינה מתמטית, רובנו רגילים למספרים ממשיים: מספרים שניתן לבטא בפורמט עשרוני, גם אם זה עשרוני ארוך לאין שיעור וגם אם הוא לא חוזר על עצמו. אבל יש יותר מספרים שקיימים מבחינה מתמטית מאשר רק המספרים הממשיים; לדוגמה, ישנם מספרים מרוכבים. למספרים מרוכבים יש חלק ממשי אך גם חלק דמיוני, שהוא מספר ממשי מוכפל ב-i, המוגדר כשורש הריבועי של 1-. הם כוללים את המספרים האמיתיים, אבל לוקחים אותנו מעבר למגבלות העבודה עם המספרים הממשיים בלבד.

הפרקטל המפורסם ביותר הוא קבוצת מנדלברוט, המומחשת (במישור המורכב, שבו ציר ה-x ממשי וציר ה-y דמיוני) בתרשים למעלה ובסרטון למטה. הדרך שבה קבוצת מנדלברוט עובדת היא שאתם מחשיבים כל מספר מרוכב אפשרי, n, ואז אתם מסתכלים על הרצף הבא:

• n,

• n² + n,

• (n² + n)² + n,

• ((n² + n)² + n)² + n,

וכן הלאה. כל איבר חדש ברצף הוא הריבוע של האיבר הקודם, בתוספת n. אם הרצף הזה אינו סוטה ואינו שואף לאינסוף חיובי או שלילי, אז הערך של n שייך לקבוצת מנדלברוט.

האופן שבו קבוצת מנדלברוט מוצג על ידי ייצוג הגבול בין מה שנמצא בפועל בקבוצה לעומת מה שמחוץ לה, כאשר קידוד צבע מראה כמה רחוק משהו מלהיות חבר בקבוצה (צבעים בהירים יותר קרובים להיות בה). כפי שאתם יכולים לראות, רבות מהדוגמאות שצצות הן מורכבות וחוזרות על עצמן.

כאשר אתם רואים אזור קטן שיש לו מאפיינים זהים באמת לכל הקבוצה עצמה, אנו מכנים אותם אזורים "דומים לעצמם" ("self-similar"). אם למשהו יש תכונות כמעט זהות לקבוצה הגדולה יותר אבל עם הבדלים עדינים, הוא מפגין קוואזי-דמיון-עצמי (quasi-self-similarity), אבל אם לאזור הקטן יש תכונות זהות באמת לאזור גדול יותר, אז הוא מפגין דמיון עצמי אמיתי (true self-similarity).

בקבוצת מנדלברוט, ניתן לזהות אזורים רבים שמראים גם קוואזי-דמיון-עצמי (שכיח יותר) וגם דימיון עצמי אמיתי (שנפוץ פחות, אבל עדיין קיים). הוכחנו זאת מתמטית בסקאלות שמשתרעות על פני מאות סדרי גודל, שהן גדולות בהרבה מהסקאלות הפיזיקליות שמקיפות את המרחקים התת-אטומיים הקטנים ביותר ועד ליקום הנצפה כולו.

אזורים של קוואזי-דמיון-עצמי (למעלה) וגם של דמיון עצמי אמיתי (למטה) ניתן למצוא בכל מקום בתוך קבוצת מנדלברוט במגוון רמות זום. העובדה שהמבנים המתמטיים האלה חוזרים על עצמם נחשבה פעם כבעלת הבטחה הסברתית רבה ליקום שלנו, השערה שכיום מוטלת בספק רב / Credit: Antonio Miguel de Campos (top); Ishaan Gulrajani (bottom)

מנקודת מבט מתמטית, אתם יכולים לראות בבירור שאם אותם כללים ותנאים חלים בכל קנה מידה, אז תלוי במה הם הכללים האלה, אתם עשויים להגיע למבנה הדומה לעצמו ליקום, שבו מה שמופיע בקנה מידה גדול גם מופיע בקנה מידה קטן. זו הייתה שאלה בעלת עניין מיוחד בסוף המאה ה-20, כאשר הבנו שתי עובדות במקביל על הקוסמוס.

1. היקום, בכללותו, נראה כאילו יש בו כמות גדולה של מסה בלתי נראית ובלתי נצפית: מה שאנו מכירים כיום כחומר אפל.

2. העקמומיות המרחבית הכוללת של היקום תואמת להיותו שטוח, כלומר, אם מחברים את כל צורות האנרגיה הקיימות ביקום, הן משתוות לצפיפות הקריטית, שקובעת את קצב ההתפשטות (בין היתר).

   
   

בפיזיקה, אסטרופיזיקה וקוסמולוגיה, אנו יודעים שאיננו יכולים לדמות כראוי את היקום כולו לדיוק שרירותי. מה שאנחנו יכולים לעשות, במקום זאת, הוא להניח כמה הנחות מפשטות, ואז לדמות את היקום כמיטב יכולתנו תחת אותה מערכת הנחות. אחד הדברים היותר מעניינים שהתחלנו לעשות היה להריץ סימולציות של חומר אפל ביקום במגוון קני מידה. אולי באופן מפתיע, כולן הניבו תוצאות כמעט זהות.

על פי מודלים וסימולציות, כל הגלקסיות צריכות להיות מוטמעות בהילות חומר אפל, שצפיפותן מגיעה לשיא במרכזים הגלקטיים. בטווחי זמן ארוכים מספיק, של אולי מיליארד שנים, חלקיק חומר אפל בודד מפאתי ההילה ישלים מסלול אחד. ההשפעות של גז, תגובה, היווצרות כוכבים, סופרנובות וקרינה מסבכות את הסביבה הזו, מה שמקשה מאד על חילוץ תחזיות חומר אפל אוניברסליות / Credit: NASA, ESA, and T. Brown and J. Tumlinson (STScI)

כשמתחילים עם יקום שמלא באופן אחיד בחומר אפל, אותה פיזיקה כבידתית תמיד פועלת. גם אם תיצרו אותו אחיד לחלוטין, תמיד יהיו אי-שלמויות זעירות: אטום או מולקולה שאינם מופצים בצורה מושלמת, כוח משיכה או דחייה קטן על חלקיק תת-אטומי, רעידות קוונטיות, וכדומה. ברגע שהמערכת שלכם אינה אחידה לחלוטין - ואחידות מושלמת אינה יציבה תחת חוקי הכבידה - האזורים הצפופים יותר ימשכו באופן מועדף יותר חומר לעומת האזורים סביבם, בעוד שהאזורים הפחות צפופים ימסרו את החומר שלהם לאזורים הסובבים אותם.

אם תתחילו עם גוש צפוף אחד בלבד ותאפשרו לו להתפתח למשך זמן רב מספיק (כך שכל חלקיק בסימולציה שלכם יוכל להשלים מסלולים מלאים רבים בכל מסלול שהוא נע בו), תקבלו הילה גדולה של חומר אפל: כדורית, מפוזרת, ובעלת צפיפות הגבוהה ביותר במרכז.

ארבעה פרופילים שונים של צפיפות חומר אפל מסימולציות, יחד עם פרופיל איזותרמי (ממודל) (באדום) שתואם טוב יותר את התצפיות אך הדמיות לא מצליחות לייצר. שימו לב שפרופילי החומר האפל הללו מתרחשים עם אותם שיפועים אך רדיוסי סיבוב שונים בקני מידה קוסמיים שונים / Credit: R. Lehoucq et al., A&A, 2009

מה שמדהים הוא שאפילו אם תשנו באופן דרמטי את ההנחות שלכם, כמעט תמיד תקבלו את אותו פרופיל צפיפות: הצפיפות גדלה בקצב מסוים עד ל"רדיוס מפנה" מסוים, ולאחר מכן גדלה בקצב איטי יותר עד שתגיעו למרכז.

הרעיון של פרופיל אוניברסלי להילות חומר אפל הוא אחת התחזיות המרגשות ביותר בכל הדמיון העצמי בקוסמולוגיה. עם זאת, מה שעלינו לעשות, אם ברצוננו להיות מדויקים יותר, הוא ללכת מעבר למערכת בודדת ומבודדת, ובמקום זאת לדמות את המתרחש בתרחיש ריאליסטי יותר: חומר אפל ביקום שהוא גם מתפשט וגם מתמלא במגוון של תת-צפיפויות וצפיפויות יתר ראשוניות. זה, אחרי הכל, תואם את מה שאנחנו יודעים וצופים ביקום, ואם אנחנו מתכוונים להניח הנחות, אנחנו יכולים גם להניח משהו קרוב ככל האפשר ליקום האמיתי.

אז אנחנו מריצים את ההדמיות הקוסמולוגיות שלנו, ומה שאנחנו מוצאים הוא זה:

• אנו יוצרים רשת קוסמית עצומה,

• שבה קנה המידה הקטן קורס ראשון, מיד כשיש לכבידה מספיק זמן לשלוח את האות המשפיע שלה מאזורים צפופים יתר על המידה אל החומר שמסביב,

• שבו קנה מידה גדול יותר קורס מאוחר יותר, כשמבנים בקנה מידה קטן יותר מונחים עליו, ושככל שיותר זמן עובר, אפילו קני מידה גדולים יותר מצטרפים לתהליך, ויוצרים יקום שמציג דמיון עצמי מוחלט.

בתרחיש זה, אתם מקבלים מיני-הילות בתוך הילות רגילות בתוך הילות ענק, כולן מחוברות על ידי נימים שבעצמם, בהינתן מספיק זמן ותכונות נכונות, ייצרו גם הילות משלהם, בעוד שרשת מפוארת עוד יותר נוצרת בקנה מידה גדול יותר.

קטע זה מתוך הדמיית היווצרות מבנה, עם התפשטות היקום, מייצג מיליארדי שנים של צמיחת כבידה ביקום עשיר בחומר אפל. שימו לב כי נימים וצבירים עשירים, הנוצרים בהצטלבות של נימים, נוצרים בעיקר עקב חומר אפל; חומר רגיל משחק רק תפקיד מינורי / Credit: Ralf Kaehler and Tom Abel (KIPAC)/Oliver Hahn

לפחות, כך זה היה עובד אם היינו מאכלסים את מה שמכונה יקום איינשטיין-דה סיטר (Einstein-de Sitter Universe): שבו הדבר היחיד המרכיב את היקום הוא חומר, ויש לנו מספיק חומר כדי להגיע לצפיפות הקריטית, שבה כמות ה"חומר" מאזנת בדיוק את קצב ההתפשטות הראשוני. בדגם הצעצוע הזה של היקום, כוח הכבידה בטווח האינסופי מתפשט החוצה במהירות האור (ששווה למהירות הכבידה), ואין גבול לכמה גדול או קטן קנה מידה יכול להיות; אתם עדיין תיצרו את אותם מבנים.

אבל היקום שלנו שונה מהותית מהתרחיש הזה בשלוש דרכים חשובות.

1. אין לנו רק סוג אחד של חומר, אלא שניים: חומר רגיל ואפל. בעוד שחומר אפל מתנהג בצורה דומה-לעצמו, החומר הרגיל מוגבל. הוא מתנגש, יוצר מבנים קשורים, מתחמם ואפילו מפעיל היתוך גרעיני. ברגע שמגיעים לקני המידה הקטנים שבהם זה מתרחש, הדמיון העצמי מסתיים. אינטראקציות התגובה בין החומר הרגיל לחומר האפל ישנו את פרופילי הצפיפות של ההילות בדרכים שלא קל להבין. למעשה, זה נותר תחום מחקר פתוח בחקר החומר האפל כיום.

   

   היווצרות של מבנה קוסמי, הן בקנה מידה גדול והן בקנה מידה קטן, תלויה מאד באופן שבו חומר אפל וחומר רגיל מתקשרים. ההתפלגות של חומר רגיל (משמאל) ושל חומר אפל (מימין) יכולים להשפיע זה על זה, שכן דברים כמו היווצרות כוכבים ותגובה יכולים להשפיע על החומר הרגיל, שבתורו מפעיל השפעות כבידה על החומר האפל / Credit: Illustris Collaboration/Illustris Simulation

2. לחומר מצטרפת קרינה, מרכיב חשוב להפליא של היקום. קרינה, מכיוון שיש לה אנרגיה שתלויה באורך הגל שלה, הייתה למעשה חשובה יותר ביקום המוקדם. כאשר היקום מתפשט, הוא נהיה פחות צפוף; מספר החלקיקים (חומר רגיל, חומר אפל ופוטונים) נשאר זהה, בעוד הנפח גדל. אבל ככל שהיקום מתפשט, גם אורך הגל של הקרינה בו מוסח לאדום, ונעשה נמוך יותר באנרגיה. הקרינה הייתה חשובה יותר בשלב מוקדם, ונעשית פחות חשובה ככל שעובר הזמן.
   

   משמעות הדבר היא שבמשך מאות אלפי השנים הראשונות של היקום (ובמיוחד ב-10,000 הראשונות לערך), צפיפות יתר החומר נאבקה לצמוח, מכיוון שהקרינה פעלה לשטוף אותה ביעילות. יש גבול תחתון לקני המידה שבהם היקום דומה לעצמו אפילו בזמנים מוקדמים: המבנים בקנה מידה הקטן ביותר שלכם יהיו לפחות 100,000~ מסות שמש בתוכם, שהן בערך המסות של צבירים כדוריים והגלקסיה הננסית הקטנה ביותר הידועה. מתחת לזה, המבנים היחידים שאתם מקבלים נוצרים מהתנגשויות מבולגנות ואינטראקציות בין מבנים שונים מבוססי חומר רגיל.

   

   המחשה של דפוסי התקבצות הנובעים מתנודות באריון אקוסטיות, כאשר הסבירות למצוא גלקסיה במרחק מסוים מכל גלקסיה אחרת נשלטת על ידי הקשר בין חומר אפל לחומר רגיל, כמו גם ההשפעות של חומר רגיל בזמן שהוא מקיים אינטראקציה עם קרינה. ככל שהיקום מתפשט, המרחק האופייני הזה מתרחב גם הוא, ומאפשר לנו למדוד את קבוע האבל, את צפיפות החומר האפל ואפילו את האינדקס הספקטרלי הסקלרי. התוצאות תואמות את נתוני ה-CMB, ויקום המורכב מ-25% חומר אפל, בניגוד ל-5% חומר רגיל, עם קצב התפשטות של כ-68 קילומטר לשנייה, למיליון פרסק / Credit: Zosia Rostomian, LBNL

3. היקום שלנו מורכב גם הוא במידה רבה מאנרגיה אפלה, השולטת בתכולת האנרגיה של היקום כיום. אם היקום היה ממשיך להתפשט תוך כדי משיכה, ואם ההתפשטות עצמה לא הייתה מואצת, לא היה גבול עליון לגודל המבנים הדומים-עצמית הללו מבחינה קוסמית. אבל מכיוון שקיימת אנרגיה אפלה, היא בעצם קובעת גבול עליון לגודל המבנים הללו ביקום: בערך כמה מיליארדי שנות אור בקוטר.
   

   זה אולי נשמע עצום, אבל ביקום הנצפה המשתרע על פני 46 מיליארד שנות אור לכל הכיוונים, אפילו מבנה שהיה 10 מיליארד שנות אור בכל שלושת הממדים - ערך גדול בהרבה מהמבנה הידוע הגדול ביותר ביקום, אגב - יתפוס רק ~1% מנפח היקום. פשוט אין לנו מבנים כה גדולים ולעולם לא יהיו.

כשלוקחים את כל זה ביחד, זה עוזר לנו להבין עובדה אמיתית אבל אולי מנוגדת לאינטואיציה על היקום: הן בקנה המידה הקוסמי הקטן והן הגדול ביותר, היקום אינו דמוי פרקטל כלל, וכי רק לקני מידה הביניים יש סיכוי כלשהו להפגנת התנהגות דמוית פרקטל.

הרשת הקוסמית של החומר האפל והמבנה בקנה מידה גדול שהוא יוצר. חומר רגיל קיים, אבל הוא רק 1/6 מכלל החומר. בינתיים, החומר עצמו מרכיב רק כ-2/3 מהיקום כולו, כאשר אנרגיה אפלה מהווה את השאר. ההתפשטות המואצת מדכאת מבנה בקנה מידה גדול במיוחד, שכן אנרגיה אפלה מונעת מקריסה כבידתית להתרחש בקני מידה קוסמיים גדולים במיוחד / Credit: The Millennium Simulation, V. Springel et al.

ובכל זאת, זה כשלעצמו תחום מחקר עשיר. אנשים עובדים כדי למדוד את הממד הפרקטלי של היקום כבר יותר משלושה עשורים, ומנסים לפענח האם ניתן לתאר אותו היטב על ידי פרמטר פרקטלי פשוט אחד או שנדרשים מספר רב. היקום הסמוך אינו מקום טוב למדוד זאת, מכיוון שאנרגיה אפלה כבר הרימה את ראשה ב-6 מיליארד השנים האחרונות.

אבל אם אנחנו מסתכלים על עצמים שנמצאים בהסחה לאדום של 2~ או יותר, אנחנו מסתכלים אחורה בזמן לעידן שבו אנרגיה אפלה לא הייתה משמעותית: המעבדה המושלמת לחקור בדיוק איזה סוג של תכונות דימיון-עצמי היו ליקום. עם דור חדש של מצפי כוכבים קרקעיים וחלליים שיגיעו לאינטרנט במהלך השנים הקרובות, סוף סוף נקבל את ההשוואה בין תיאוריה לתצפית שתמיד רצינו. היקום אינו פרקטל אמיתי, אבל אפילו בתחומים שבהם הוא רק בערך פרקטל, עדיין יש כמה שיעורים קוסמיים משכנעים שרק מחכים שילמדו.